Números reais vs números imaginários
Números são objetos matemáticos usados para contar e medir. Sua definição mudou ao longo dos anos com a adição de zero, números negativos, números racionais, números irracionais e números imaginários. Embora a base abstrata dos sistemas numéricos se relacione com estruturas algébricas como grupos, anéis e campos, apenas uma ideia intuitiva é apresentada aqui.
O que é um número real?
Definindo informalmente, um número real é um número cujo quadrado é não negativo. Em notação matemática, denotamos o conjunto de números reais pelo símbolo R. Portanto, para todo x, se x ϵ R então x 2 ≥ 0. De uma forma mais rigorosa, pode-se introduzir o conjunto de números reais como o único campo totalmente ordenado completo com a operação binária + e. junto com a relação de pedido <. Essa relação de ordem segue a lei da tricotomia, que afirma que, dados dois números reais xey, um e apenas um desses 3 é válido; x> y, x <y ou x = y.
Um número real pode ser algébrico ou transcendental, dependendo se é uma raiz de uma equação polinomial com coeficientes inteiros ou não. Além disso, um número real pode ser racional ou irracional, dependendo se pode ser expresso como uma proporção de dois inteiros ou não. Por exemplo, 2,5 é um número real, que é algébrico e racional, mas ᴫ é irracional e também transcendental.
O conjunto de números reais está completo. Isso significa que, para cada subconjunto não vazio de números reais que é limitado acima, tem um menor limite superior e, a partir disso, pode-se deduzir que para cada subconjunto não vazio de números reais que é limitado abaixo, tem o maior limite inferior. Isso distingue o conjunto de números reais do conjunto de números racionais. Pode-se argumentar que o conjunto de números reais é construído preenchendo as lacunas do conjunto de números racionais incompletos, sendo as lacunas números irracionais.
O que é um número imaginário?
Um número imaginário é um número cujo quadrado é negativo. Em outras palavras, números como √ (-1), √ (-100) e √ (- e) são números imaginários. Todos os números imaginários podem ser escritos na forma ai onde i é a 'unidade imaginária' √ (-1) e a é um número real diferente de zero. (Observe que i 2 = -1). Embora esses números pareçam não reais e, como o nome sugere, não existem, eles são usados em muitas aplicações essenciais do mundo real, em áreas como aviação, eletrônica e engenharia.
Qual é a diferença entre números reais e números imaginários?
• O quadrado de um número real não é negativo, mas o quadrado de um número imaginário é negativo.
• O conjunto de números reais forma um campo totalmente ordenado, ao passo que o conjunto de números imaginários não é completo nem ordenado.
