Cardinal vs Ordinal
Em nosso dia a dia, o uso de números pode assumir diferentes formas em diferentes situações. Por exemplo, quando contamos para descobrir o tamanho de uma coleção de objetos, nós os contamos como um, dois, três e assim por diante. Quando queremos contar algo para ter uma noção da posição dos objetos, contamos com eles como primeiro, segundo, terceiro e assim por diante. Na primeira forma de contagem, os números são chamados de números cardinais. Na segunda forma de contagem, os números são considerados números ordinais. Nesse contexto, os conceitos cardinal e ordinal são completamente uma questão de lingüística; cardinal e ordinal são adjetivos.
No entanto, a extensão do conceito aos conjuntos na matemática revela uma perspectiva muito mais profunda e ampla e não pode ser tratada em termos simples. Neste artigo, tentaremos compreender os conceitos fundamentais dos números cardinais e ordinais na matemática.
Definições formais de números cardinais e ordinais são fornecidas na teoria dos conjuntos. As definições são complexas e para entendê-las no sentido perfeito é necessário um conhecimento prévio da teoria dos conjuntos. Portanto, nos voltaremos para alguns exemplos, para compreender os conceitos heuristicamente.
Considere os dois conjuntos {1,3,6,4,5,2} e {ônibus, carro, balsa, trem, avião, helicóptero}. Cada conjunto lista um conjunto de elementos e, se contarmos o número de elementos, é evidente que cada um tem o mesmo número de elementos, que é 6. Chegando a esta conclusão, pegamos o tamanho de um conjunto e comparamos com outro usando um número. Esse número é chamado de número cardinal. Portanto, podemos dizer que um número cardinal é um número que podemos usar para comparar o tamanho dos conjuntos finitos.
Novamente, o primeiro conjunto de números pode ser organizado em ordem crescente considerando o tamanho de cada elemento e comparando-os. No processo de pedido, os números são considerados cardeais. Da mesma forma, o conjunto de todos os inteiros não negativos pode ser ordenado em um conjunto; ou seja, {0,1,2,3,4,…..}. Mas, neste caso, o tamanho do conjunto torna-se infinito e não é possível fornecê-lo em termos de ordinais. Não importa quão grande seja o número que você escolhe para dar o tamanho do conjunto, ainda haverá números deixados de fora do conjunto que você escolher e que são inteiros não negativos.
Portanto, os matemáticos definem este cardeal infinito (que é o primeiro) como Aleph-0, escrito como א (primeira letra do alfabeto hebraico). Formalmente, o número ordinal é o tipo de pedido de um conjunto bem ordenado. Portanto, o número ordinal dos conjuntos finitos pode ser dado por números cardinais, mas para conjuntos infinitos o ordinal é dado por números transfinitos, como Aleph-0.
Qual é a diferença entre os números cardinais e ordinais?
• O número cardinal é um número que pode ser usado para contar ou para fornecer o tamanho de um conjunto ordenado finito. Todos os números cardinais são ordinais.
• Os números ordinais são números usados para fornecer o tamanho de conjuntos ordenados finitos e infinitos. O tamanho dos conjuntos ordenados finitos é dado por numerais algébricos hindu-arábicos usuais, e o tamanho do conjunto infinito é dado por números transfinitos.
