Série de Fourier vs Transformada de Fourier
A série de Fourier decompõe uma função periódica em uma soma de senos e cossenos com diferentes frequências e amplitudes. A série de Fourier é um ramo da análise de Fourier e foi introduzida por Joseph Fourier. A transformada de Fourier é uma operação matemática que interrompe um sinal em suas frequências constituintes. O sinal original que mudou com o tempo é chamado de representação do sinal no domínio do tempo. A transformada de Fourier é chamada de representação no domínio da frequência de um sinal, pois depende da frequência. Tanto a representação de um sinal no domínio da frequência quanto o processo usado para transformar esse sinal no domínio da frequência são chamados de transformada de Fourier.
O que é a série Fourier?
Como mencionado anteriormente, a série de Fourier é uma expansão de uma função periódica usando soma infinita de senos e cossenos. A série de Fourier foi inicialmente desenvolvida para resolver equações de calor, mas depois descobriu-se que a mesma técnica pode ser usada para resolver um grande conjunto de problemas matemáticos, especialmente os problemas que envolvem equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Agora, a série Fourier tem aplicações em um grande número de campos, incluindo engenharia elétrica, análise de vibração, acústica, óptica, processamento de sinal, processamento de imagem, mecânica quântica e econometria. A série de Fourier usa as relações de ortogonalidade das funções seno e cosseno. O cálculo e o estudo da série de Fourier é conhecido como a análise harmônica e é muito útil quando se trabalha com funções periódicas arbitrárias,pois permite dividir a função em termos simples que podem ser usados para obter uma solução para o problema original.
O que é transformada de Fourier?
A transformada de Fourier define uma relação entre um sinal no domínio do tempo e sua representação no domínio da frequência. A transformada de Fourier decompõe uma função em funções oscilatórias. Por se tratar de uma transformação, o sinal original pode ser obtido conhecendo a transformação, portanto, nenhuma informação é criada ou perdida no processo. O estudo da série de Fourier realmente fornece motivação para a transformada de Fourier. Por causa das propriedades dos senos e cossenos, é possível recuperar a quantidade de cada onda que contribui para a soma usando uma integral. A transformada de Fourier tem algumas propriedades básicas, como linearidade, translação, modulação, escala, conjugação, dualidade e convolução. A transformada de Fourier é aplicada na resolução de equações diferenciais, uma vez que a transformada de Fourier está intimamente relacionada à transformação de Laplace. A transformada de Fourier também é usada em ressonância magnética nuclear (NMR) e em outros tipos de espectroscopia.
Diferença entre a série de Fourier e a transformada de Fourier
A série de Fourier é uma expansão do sinal periódico como uma combinação linear de senos e cossenos, enquanto a transformada de Fourier é o processo ou função usada para converter sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência. A série de Fourier é definida para sinais periódicos e a transformada de Fourier pode ser aplicada a sinais aperiódicos (ocorrendo sem periodicidade). Conforme mencionado acima, o estudo da série de Fourier realmente fornece motivação para a transformada de Fourier.
