Eventos mutuamente exclusivos e independentes
As pessoas costumam confundir o conceito de eventos mutuamente exclusivos com eventos independentes. Na verdade, são duas coisas diferentes.
Sejam A e B quaisquer dois eventos associados a um experimento aleatório E. P (A) é chamado de “Probabilidade de A”. Da mesma forma, podemos definir a probabilidade de B como P (B), a probabilidade de A ou B como P (A∪B) e a probabilidade de A e B como P (A∩B). Então, P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
No entanto, dois eventos são considerados mutuamente exclusivos se a ocorrência de um evento não afetar o outro. Em outras palavras, eles não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, então A∩B = ∅ e, portanto, isso implica P (A∪B) = P (A) + P (B).
Sejam A e B dois eventos em um espaço amostral S. A probabilidade condicional de A, dado que B ocorreu, é denotada por P (A | B) e é definida como; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), desde que P (B)> 0. (caso contrário, não é definido.)
Diz-se que um evento A é independente de um evento B, se a probabilidade de que A ocorrer não for influenciada pelo fato de B ter ocorrido ou não. Em outras palavras, o resultado do evento B não tem efeito sobre o resultado do evento A. Portanto, P (A | B) = P (A). Da mesma forma, B é independente de A se P (B) = P (B | A). Portanto, podemos concluir que se A e B são eventos independentes, então P (A∩B) = P (A). P (B)
Suponha que um cubo numerado seja lançado e uma moeda justa seja lançada. Seja A o evento que obtém uma cabeça e B o evento que rola um número par. Então podemos concluir que os eventos A e B são independentes, porque o resultado de um não afeta o resultado do outro. Portanto, P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Como P (A∩B) ≠ 0, A e B não podem ser mutuamente exclusivos.
Suponha que uma urna contenha 7 bolinhas brancas e 8 bolinhas pretas. Defina o evento A como desenhar uma bola de gude branca e o evento B como desenhar uma bola de gude preta. Assumindo que cada bola de gude será substituída após anotar sua cor, então P (A) e P (B) serão sempre os mesmos, não importa quantas vezes tiremos da urna. Substituir as bolas de gude significa que as probabilidades não mudam de sorteio para sorteio, não importa a cor que escolhemos no último sorteio. Portanto, os eventos A e B são independentes.
No entanto, se as bolas de gude forem desenhadas sem substituição, tudo muda. Sob esta suposição, os eventos A e B não são independentes. Desenhar uma bola de gude branca na primeira vez muda as probabilidades de desenhar uma bola de gude preta na segunda sorteio e assim por diante. Em outras palavras, cada sorteio tem um efeito no próximo sorteio e, portanto, os sorteios individuais não são independentes.
Diferença entre eventos mutuamente exclusivos e independentes
- Exclusividade mútua de eventos significa que não há sobreposição entre os conjuntos A e B. Independência de eventos significa que o acontecimento de A não afeta o acontecimento de B.
- Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, então P (A∩B) = 0.
- Se dois eventos A e B são independentes, então P (A∩B) = P (A). P (B)
