Associativo vs Comutativo
Em nosso dia a dia, temos que usar números sempre que precisamos medir algo. No supermercado, no posto de gasolina e até na cozinha, precisamos somar, subtrair e multiplicar duas ou mais quantidades. De nossa prática, executamos esses cálculos sem esforço. Nunca notamos ou questionamos por que fazemos essas operações dessa maneira particular. Ou por que esses cálculos não podem ser feitos de maneira diferente. A resposta está oculta na maneira como essas operações são definidas no campo matemático da álgebra.
Em álgebra, uma operação envolvendo duas grandezas (como adição) é definida como uma operação binária. Mais precisamente, é uma operação entre dois elementos de um conjunto e esses elementos são chamados de 'operando'. Muitas operações em matemática, incluindo operações aritméticas mencionadas anteriormente e as encontradas na teoria dos conjuntos, álgebra linear e lógica matemática, podem ser definidas como operações binárias.
Existe um conjunto de regras de governança pertencentes a uma operação binária específica. As propriedades associativas e comutativas são duas propriedades fundamentais das operações binárias.
Mais sobre propriedade comutativa
Suponha que alguma operação binária, denotada pelo símbolo ⊗, seja realizada nos elementos A e B. Se a ordem dos operandos não está afetando o resultado da operação, então a operação é dita comutativa. ou seja, se A ⊗ B = B ⊗ A então a operação é comutativa.
As operações aritméticas de adição e multiplicação são comutativas. A ordem dos números somados ou multiplicados não afeta a resposta final:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Mas, no caso de divisão, a mudança na ordem dá o recíproco do outro e, na subtração, a mudança dá o negativo do outro. Portanto, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 e 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 e 5 ÷ 4 = 1,25 [neste caso A, B ≠ 1 e 0]
Na verdade, a subtração é considerada anti-comutativa; onde A - B = - (B - A).
Além disso, os conectivos lógicos, conjunção, disjunção, implicação e equivalência, também são comutativos. As funções de verdade também são comutativas. As operações do conjunto união e interseção são comutativas. A adição e o produto escalar dos vetores também são comutativos.
Mas a subtração do vetor e o produto do vetor não são comutativos (o produto do vetor de dois vetores é anti-comutativo). A adição da matriz é comutativa, mas a multiplicação e a subtração não são comutativas. (A multiplicação de duas matrizes pode ser comutativa em casos especiais, como a multiplicação de uma matriz com seu inverso ou a matriz de identidade; mas definitivamente as matrizes não são comutativas se as matrizes não forem do mesmo tamanho)
Mais sobre propriedade associativa
Uma operação binária é considerada associativa se a ordem de execução não afeta o resultado quando duas ou mais ocorrências do operador estão presentes. Considere os elementos A, B e C e a operação binária ⊗. A operação ⊗ é dita associativa se
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Das funções aritméticas básicas, apenas a adição e a multiplicação são associativas.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
A subtração e a divisão não são associativas;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 e (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 e (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Os conectivos lógicos disjunção, conjunção e equivalência são associativos, como também as operações de conjunto união e interseção. A adição de matriz e vetor são associativas. O produto escalar de vetores é associativo, mas o produto vetorial não. A multiplicação de matrizes é associativa apenas em circunstâncias especiais.
Qual é a diferença entre propriedade comutativa e propriedade associativa?
• Tanto a propriedade associativa quanto a comutativa são propriedades especiais das operações binárias, e algumas as satisfazem e outras não.
• Essas propriedades podem ser vistas em muitas formas de operações algébricas e outras operações binárias em matemática, como a interseção e a união na teoria dos conjuntos ou nos conectivos lógicos.
• A diferença entre comutativa e associativa é que a propriedade comutativa afirma que a ordem dos elementos não altera o resultado final, enquanto a propriedade associativa afirma que a ordem em que a operação é realizada não afeta a resposta final.
