Power Series vs Taylor Series
Em matemática, uma sequência real é uma lista ordenada de números reais. Formalmente, é uma função do conjunto de números naturais para o conjunto de números reais. Se a n é o enésimo termo de uma sequência, denotamos a sequência por ou por 1, a 2, …, a n, …. Por exemplo, considere a sequência 1, ½, ⅓, …, 1 / n, … Pode ser denotado como {1 / n}.
É possível definir uma série usando sequências. Uma série é a soma dos termos de uma sequência. Portanto, para cada sequência, existe uma sequência associada e vice-versa. Se {a n} é a sequência em consideração, então, a série formada por essa sequência pode ser representada como:
Assim, no exemplo acima, a série é associado 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Como os nomes sugerem, a série de potências é um tipo especial de série e é amplamente usada em Análise Numérica e modelagem matemática relacionada. A série Taylor é uma série de potência especial que fornece uma maneira alternativa e fácil de manipular de representar funções conhecidas.
O que é a série Power?
Uma série de potências é uma série da forma
que é convergente (possivelmente) para algum intervalo centrado em c. Os coeficientes a n podem ser números reais ou complexos e são independentes de x; ou seja, a variável dummy.
Por exemplo, definindo a n = 1 para cada n e c = 0, a série de potências 1 + x + x 2 +….. + x n +… é obtida. É fácil observar que quando x ε (-1,1), esta série de potências converge para 1 / (1-x).
Uma série de potências converge quando x = c. Os outros valores de x para os quais a série de potências converge sempre terão a forma de um intervalo aberto centrado em c. Ou seja, haverá um valor 0≤ R ≤ ∞ tal que para cada x satisfazendo | xc | ≤ R, a série de potências é convergente e para cada x satisfazendo | xc |> R, a série de potências é divergente. Este valor R é chamado de raio de convergência da série de potências (R pode assumir qualquer valor real ou infinito positivo).
As séries de potências podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas usando as seguintes regras. Considere as duas séries de potências:
Então,
ou seja, termos semelhantes são adicionados ou subtraídos juntos. Além disso, é possível multiplicar e dividir as duas séries de potências usando a identidade,
O que é a série Taylor?
A série de Taylor é definida para uma função f (x) que é infinitamente diferenciável em um intervalo. Suponha que f (x) seja diferenciável em um intervalo centrado em c. Então, a série de potências que é dada por
é chamada de expansão em série de Taylor da função f (x) sobre c. (Aqui f (n) (c) denota a n- ésima derivada em x = c). Na Análise Numérica, um número finito de termos nesta expansão infinita é usado no cálculo de valores em pontos onde a série é convergente à função original.
Uma função f (x) é dita analítica no intervalo (a, b), se para cada x ε (a, b), a série de Taylor de f (x) converge para a função f (x). Por exemplo, 1 / (1-x) é analítico em (-1,1), uma vez que sua expansão de Taylor 1 + x + x 2 + ….. + x n + … converge para a função naquele intervalo, e e x é analítico em todos os lugares, uma vez que a série de Taylor de e x converge para e x para cada número real x.
Qual é a diferença entre a série Power e a série Taylor?
1. A série de Taylor é uma classe especial de série de potências definida apenas para funções que são infinitamente diferenciáveis em algum intervalo aberto.
2. A série de Taylor assume a forma especial
considerando que uma série de potências pode ser qualquer série da forma
