Integrais Definidos vs Indefinidos
O cálculo é um ramo importante da matemática e a diferenciação desempenha um papel crítico no cálculo. O processo inverso da diferenciação é conhecido como integração, e o inverso é conhecido como integral, ou simplesmente, o inverso da diferenciação dá uma integral. Com base nos resultados que produzem, os integrais são divididos em duas classes; integrais definidos e indefinidos.
Mais sobre Integrais Indefinidos
Integral indefinido é mais uma forma geral de integração e pode ser interpretado como a anti-derivada da função considerada. Suponha que a diferenciação de F forneça f, e a integração de f forneça a integral. Geralmente é escrito como F (x) = ∫ƒ (x) dx ou F = ∫ƒ dx onde F e ƒ são funções de x, e F é diferenciável. Na forma acima, é chamada de integral de Reimann e a função resultante acompanha uma constante arbitrária. Uma integral indefinida freqüentemente produz uma família de funções; portanto, a integral é indefinida.
Integrais e processo de integração estão no centro da resolução de equações diferenciais. Porém, ao contrário da diferenciação, a integração nem sempre segue uma rotina clara e padronizada; às vezes, a solução não pode ser expressa explicitamente em termos de função elementar. Nesse caso, a solução analítica é freqüentemente fornecida na forma de uma integral indefinida.
Mais sobre Integrais Definidos
Integrais definidos são as contrapartes muito valorizadas de integrais indefinidos onde o processo de integração realmente produz um número finito. Ela pode ser definida graficamente como a área limitada pela curva da função ƒ dentro de um determinado intervalo. Sempre que a integração é realizada dentro de um determinado intervalo da variável independente, a integração produz um valor definido que é freqüentemente escrito como a ∫ b ƒ (x) dx ou a ∫ b ƒdx.
As integrais indefinidas e as integrais definidas são interconectadas através do primeiro teorema fundamental do cálculo, e isso permite que a integral definida seja calculada usando as integrais indefinidas. O teorema afirma a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a) onde F e ƒ são funções de x, e F é diferenciável no intervalo (a, b). Considerando o intervalo, aeb são conhecidos como o limite inferior e o limite superior, respectivamente.
Em vez de parar apenas com funções reais, a integração pode ser estendida para funções complexas e essas integrais são chamadas de integrais de contorno, onde ƒ é uma função da variável complexa.
Qual é a diferença entre Integrais Definidos e Indefinidos?
Integrais indefinidos representam a anti-derivada de uma função e, frequentemente, uma família de funções ao invés de uma solução definida. Em integrais definidos, a integração dá um número finito.
Integrais indefinidas associam uma variável arbitrária (daí a família de funções) e integrais definidas não têm uma constante arbitrária, mas um limite superior e um limite inferior de integração.
Integral indefinido geralmente fornece uma solução geral para a equação diferencial.
