Derivado vs diferencial
No cálculo diferencial, a derivada e a diferencial de uma função estão intimamente relacionadas, mas têm significados muito diferentes e são usadas para representar dois objetos matemáticos importantes relacionados a funções diferenciáveis.
O que é derivado?
A derivada de uma função mede a taxa na qual o valor da função muda conforme sua entrada muda. Em funções multivariável, a mudança no valor da função depende da direção da mudança dos valores das variáveis independentes. Portanto, em tais casos, uma direção específica é escolhida e a função é diferenciada nessa direção particular. Essa derivada é chamada de derivada direcional. Derivadas parciais são um tipo especial de derivadas direcionais.
A derivada de uma função de valor vetorial f pode ser definida como o limite
onde quer que exista finitamente. Como mencionado antes, isso nos dá a taxa de aumento da função f ao longo da direção do vetor u. No caso de uma função de valor único, isso se reduz à definição bem conhecida da derivada,
Por exemplo,
é diferenciável em todos os lugares e a derivada é igual ao limite,,
que é igual a
. Os derivados de funções como
existem em todos os lugares. Eles são respectivamente iguais às funções
Isso é conhecido como a primeira derivada. Normalmente, a primeira derivada da função f é denotada por f (1). Agora, usando essa notação, é possível definir derivadas de ordem superior.
é a derivada direcional de segunda ordem e, denotando a n- ésima derivada por f (n) para cada n
,, define a n- ésima derivada.
O que é diferencial?
O diferencial de uma função representa a mudança na função em relação às mudanças na variável ou variáveis independentes. Na notação usual, para uma dada função f de uma única variável x, a diferencial total de ordem 1 df é dada por
,. Isso significa que para uma mudança infinitesimal em x (isto é, dx), haverá uma mudança de f (1) (x) dx em f.
Usando limites, pode-se chegar a esta definição da seguinte maneira. Suponha que ∆ x é a mudança em x em um ponto arbitrário x e ∆ f é a mudança correspondente na função f. Pode-se mostrar que ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, onde ϵ é o erro. Agora, o limite ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (usando a definição de derivada declarada anteriormente) e, portanto, ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Portanto, é possível conclua que, ∆ x → 0 ϵ = 0. Agora, denotando ∆ x → 0 ∆ f como df e ∆ x → 0 ∆ x como dx a definição do diferencial é rigorosamente obtida.
Por exemplo, o diferencial da função
é
No caso de funções de duas ou mais variáveis, o diferencial total de uma função é definido como a soma dos diferenciais nas direções de cada uma das variáveis independentes. Matematicamente, pode ser definido como
Qual é a diferença entre derivada e diferencial?
• Derivada refere-se a uma taxa de mudança de uma função, enquanto o diferencial se refere à mudança real da função, quando a variável independente está sujeita a mudança.
• A derivada é dada por
mas a diferencial é dada por
