Integração vs Soma
Na matemática do ensino médio, integração e soma são freqüentemente encontrados em operações matemáticas. Eles são aparentemente usados como ferramentas diferentes e em situações diferentes, mas compartilham um relacionamento muito próximo.
Mais sobre soma
Soma é a operação de somar uma sequência de números e a operação é freqüentemente denotada pela letra grega de sigma maiúsculo Σ. É usado para abreviar a soma e igual à soma / total da sequência. Eles são freqüentemente usados para representar as séries, que essencialmente são sequências infinitas resumidas. Eles também podem ser usados para indicar a soma de vetores, matrizes ou polinômios.
O somatório geralmente é feito para um intervalo de valores que pode ser representado por um termo geral, como uma série que possui um termo comum. O ponto inicial e o ponto final da soma são conhecidos como limite inferior e limite superior da soma, respectivamente.
Por exemplo, a soma da sequência a 1, a 2, a 3, a 4, …, a n é a 1 + a 2 + a 3 + … + a n que pode ser facilmente representada usando a notação de soma como ∑ n i = 1 a i; i é chamado de índice de soma.
Muitas variações são usadas para a soma com base na aplicação. Em alguns casos, o limite superior e o limite inferior podem ser dados como um intervalo ou um intervalo, como ∑ 1≤i≤100 a i e ∑ i∈ [1.100] a i. Ou pode ser dado como um conjunto de números como ∑ i∈P a i, onde P é um conjunto definido.
Em alguns casos, dois ou mais sinais sigma podem ser usados, mas eles podem ser generalizados da seguinte forma; ∑ j ∑ k a jk = ∑ j, k a jk.
Além disso, o somatório segue muitas regras algébricas. Como a operação embutida é a adição, muitas das regras comuns da álgebra podem ser aplicadas às próprias somas e aos termos individuais representados pela soma.
Mais sobre integração
A integração é definida como o processo reverso de diferenciação. Mas, em sua vista geométrica, também pode ser considerada como a área delimitada pela curva da função e pelo eixo. Portanto, o cálculo da área fornece o valor de uma integral definida, conforme mostrado no diagrama.
Fonte da imagem:
O valor da integral definida é, na verdade, a soma das pequenas faixas dentro da curva e do eixo. A área de cada faixa é a altura × largura no ponto do eixo considerado. A largura é um valor que podemos escolher, digamos ∆x. E a altura é aproximadamente o valor da função no ponto considerado, digamos f (x i). A partir do diagrama, é evidente que quanto menores as faixas, melhor cabem as faixas dentro da área delimitada, portanto, melhor aproximação do valor.
Então, em geral a integral definida I, entre os pontos a e b (ou seja, no intervalo [a, b] onde a
Como generalização do conceito anterior, podemos escolher o ∆x com base no intervalo considerado indexado por i (escolhendo a largura da área com base na posição). Então nós temos
I = lim ∆x → 0 ∑ n i = 1 f (x i) ∆x i = a ∫ b f (x) dx
Isso é conhecido como o Reimann Integral da função f (x) no intervalo [a, b]. Nesse caso, a e b são conhecidos como o limite superior e o limite inferior da integral. Reimann integral é uma forma básica de todos os métodos de integração.
Em essência, a integração é a soma da área quando a largura do retângulo é infinitesimal.
Qual é a diferença entre integração e soma?
• A soma é a soma de uma sequência de números. Normalmente, o somatório é dado nesta forma i n i = 1 a i quando os termos na seqüência têm um padrão e podem ser expressos usando um termo geral.
• Integração é basicamente a área delimitada pela curva da função, o eixo e os limites superior e inferior. Essa área pode ser dada como a soma de áreas muito menores incluídas na área delimitada.
• A soma envolve os valores discretos com os limites superior e inferior, enquanto a integração envolve valores contínuos.
• A integração pode ser interpretada como uma forma especial de soma.
• Em métodos de computação numérica, a integração é sempre realizada como um somatório.
