Diferença Entre Integração E Soma

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Última modificação: 2023-12-16 08:41

Integração vs Soma

Na matemática do ensino médio, integração e soma são freqüentemente encontrados em operações matemáticas. Eles são aparentemente usados como ferramentas diferentes e em situações diferentes, mas compartilham um relacionamento muito próximo.

Mais sobre soma

Soma é a operação de somar uma sequência de números e a operação é freqüentemente denotada pela letra grega de sigma maiúsculo Σ. É usado para abreviar a soma e igual à soma / total da sequência. Eles são freqüentemente usados para representar as séries, que essencialmente são sequências infinitas resumidas. Eles também podem ser usados para indicar a soma de vetores, matrizes ou polinômios.

O somatório geralmente é feito para um intervalo de valores que pode ser representado por um termo geral, como uma série que possui um termo comum. O ponto inicial e o ponto final da soma são conhecidos como limite inferior e limite superior da soma, respectivamente.

Por exemplo, a soma da sequência a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, …, a _n é a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n que pode ser facilmente representada usando a notação de soma como ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; i é chamado de índice de soma.

Muitas variações são usadas para a soma com base na aplicação. Em alguns casos, o limite superior e o limite inferior podem ser dados como um intervalo ou um intervalo, como ∑ _1≤i≤100 a _i e ∑ _{i∈ [1.100]} a _i. Ou pode ser dado como um conjunto de números como ∑ _i∈P a _i, onde P é um conjunto definido.

Em alguns casos, dois ou mais sinais sigma podem ser usados, mas eles podem ser generalizados da seguinte forma; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Além disso, o somatório segue muitas regras algébricas. Como a operação embutida é a adição, muitas das regras comuns da álgebra podem ser aplicadas às próprias somas e aos termos individuais representados pela soma.

Mais sobre integração

A integração é definida como o processo reverso de diferenciação. Mas, em sua vista geométrica, também pode ser considerada como a área delimitada pela curva da função e pelo eixo. Portanto, o cálculo da área fornece o valor de uma integral definida, conforme mostrado no diagrama.

Fonte da imagem:

O valor da integral definida é, na verdade, a soma das pequenas faixas dentro da curva e do eixo. A área de cada faixa é a altura × largura no ponto do eixo considerado. A largura é um valor que podemos escolher, digamos ∆x. E a altura é aproximadamente o valor da função no ponto considerado, digamos f (x _i). A partir do diagrama, é evidente que quanto menores as faixas, melhor cabem as faixas dentro da área delimitada, portanto, melhor aproximação do valor.

Então, em geral a integral definida I, entre os pontos a e b (ou seja, no intervalo [a, b] onde a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, onde n é o número de faixas (n = (ba) / ∆x). Este somatório da área pode ser facilmente representado usando a notação de somatório como I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Como a aproximação é melhor quando ∆x é menor, podemos calcular o valor quando ∆x → 0. Portanto, é razoável dizer que I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Como generalização do conceito anterior, podemos escolher o ∆x com base no intervalo considerado indexado por i (escolhendo a largura da área com base na posição). Então nós temos

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Isso é conhecido como o Reimann Integral da função f (x) no intervalo [a, b]. Nesse caso, a e b são conhecidos como o limite superior e o limite inferior da integral. Reimann integral é uma forma básica de todos os métodos de integração.

Em essência, a integração é a soma da área quando a largura do retângulo é infinitesimal.

Qual é a diferença entre integração e soma?

• A soma é a soma de uma sequência de números. Normalmente, o somatório é dado nesta forma _i ⁿ _{i = 1} a _i quando os termos na seqüência têm um padrão e podem ser expressos usando um termo geral.

• Integração é basicamente a área delimitada pela curva da função, o eixo e os limites superior e inferior. Essa área pode ser dada como a soma de áreas muito menores incluídas na área delimitada.

• A soma envolve os valores discretos com os limites superior e inferior, enquanto a integração envolve valores contínuos.

• A integração pode ser interpretada como uma forma especial de soma.

• Em métodos de computação numérica, a integração é sempre realizada como um somatório.