Diferença Entre Riemann Integral E Lebesgue Integral

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Última modificação: 2023-12-16 08:41

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

A integração é um tópico principal do cálculo. Em um sentido intermediário, a integração pode ser vista como o processo reverso de diferenciação. Ao modelar problemas do mundo real, é fácil escrever expressões envolvendo derivados. Em tal situação, a operação de integração é necessária para encontrar a função que forneceu a derivada específica.

De outro ângulo, a integração é um processo que resume o produto de uma função ƒ (x) e δx, onde δx tende a ser um certo limite. É por isso que usamos o símbolo de integração como ∫. O símbolo ∫ é, de fato, o que obtemos esticando a letra s para se referir à soma.

Riemann Integral

Considere uma função y = ƒ (x). A integral de y entre a e b, onde a e b pertencem a um conjunto x, é escrita como _b ∫ ^a ƒ (x) dx = [F (x)] _{a → b} = F (b) - F (a). Isso é chamado de integral definida da função contínua e de valor único y = ƒ (x) entre a e b. Isso dá a área sob a curva entre a e b. Isso também é chamado de integral de Riemann. A integral de Riemann foi criada por Bernhard Riemann. A integral de Riemann de uma função contínua é baseada na medida de Jordan, portanto, também é definida como o limite das somas de Riemann da função. Para uma função de valor real definida em um intervalo fechado, a integral de Riemann da função em relação a uma partição x ₁, x ₂,…, x _ndefinido no intervalo [a, b] e t ₁, t ₂,…, t _n, onde x _i ≤ t _i ≤ x _{i + 1} para cada i ε {1, 2,…, n}, soma de Riemann é definida como Σ _{i = o a n-1} ƒ (t _i) (x _{i + 1} - x _i).

Lebesgue Integral

Lebesgue é outro tipo de integral, que cobre uma ampla variedade de casos do que a integral de Riemann. A integral de lebesgue foi introduzida por Henri Lebesgue em 1902. A integração de legesgue pode ser considerada como uma generalização da integração de Riemann.

Por que precisamos estudar outra integral?

Vamos considerar a função característica ƒ _{A (x) =} { _{0 se, x não ε A} ^{1 se, x ε A} em um conjunto A. Então, combinação linear finita de funções características, que é definida como F (x) = Σ a _i ƒ E _i (x) é chamada de função simples se E _i for mensurável para cada i. A integral de Lebesgue de F (x) sobre E é denotada por _E ∫ ƒ (x) dx. A função F (x) não é Riemann integrável. Portanto, integral de Lebesgue é integral reformulada de Riemann, que possui algumas restrições sobre as funções a serem integradas.

Qual é a diferença entre Riemann Integral e Lebesgue Integral?

· A integral de Lebesgue é uma forma de generalização da integral de Riemann.

· A integral de Lebesgue permite uma infinidade contável de descontinuidades, enquanto a integral de Riemann permite um número finito de descontinuidades.