Riemann Integral vs Lebesgue Integral
A integração é um tópico principal do cálculo. Em um sentido intermediário, a integração pode ser vista como o processo reverso de diferenciação. Ao modelar problemas do mundo real, é fácil escrever expressões envolvendo derivados. Em tal situação, a operação de integração é necessária para encontrar a função que forneceu a derivada específica.
De outro ângulo, a integração é um processo que resume o produto de uma função ƒ (x) e δx, onde δx tende a ser um certo limite. É por isso que usamos o símbolo de integração como ∫. O símbolo ∫ é, de fato, o que obtemos esticando a letra s para se referir à soma.
Riemann Integral
Considere uma função y = ƒ (x). A integral de y entre a e b, onde a e b pertencem a um conjunto x, é escrita como b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Isso é chamado de integral definida da função contínua e de valor único y = ƒ (x) entre a e b. Isso dá a área sob a curva entre a e b. Isso também é chamado de integral de Riemann. A integral de Riemann foi criada por Bernhard Riemann. A integral de Riemann de uma função contínua é baseada na medida de Jordan, portanto, também é definida como o limite das somas de Riemann da função. Para uma função de valor real definida em um intervalo fechado, a integral de Riemann da função em relação a uma partição x 1, x 2,…, x ndefinido no intervalo [a, b] e t 1, t 2,…, t n, onde x i ≤ t i ≤ x i + 1 para cada i ε {1, 2,…, n}, soma de Riemann é definida como Σ i = o a n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue é outro tipo de integral, que cobre uma ampla variedade de casos do que a integral de Riemann. A integral de lebesgue foi introduzida por Henri Lebesgue em 1902. A integração de legesgue pode ser considerada como uma generalização da integração de Riemann.
Por que precisamos estudar outra integral?
Vamos considerar a função característica ƒ A (x) = { 0 se, x não ε A 1 se, x ε A em um conjunto A. Então, combinação linear finita de funções características, que é definida como F (x) = Σ a i ƒ E i (x) é chamada de função simples se E i for mensurável para cada i. A integral de Lebesgue de F (x) sobre E é denotada por E ∫ ƒ (x) dx. A função F (x) não é Riemann integrável. Portanto, integral de Lebesgue é integral reformulada de Riemann, que possui algumas restrições sobre as funções a serem integradas.
Qual é a diferença entre Riemann Integral e Lebesgue Integral?
· A integral de Lebesgue é uma forma de generalização da integral de Riemann.
· A integral de Lebesgue permite uma infinidade contável de descontinuidades, enquanto a integral de Riemann permite um número finito de descontinuidades.
