Variáveis Aleatórias vs Distribuição de Probabilidade
Experimentos estatísticos são experimentos aleatórios que podem ser repetidos indefinidamente com um conjunto conhecido de resultados. Tanto as variáveis aleatórias quanto as distribuições de probabilidade estão associadas a tais experimentos. Para cada variável aleatória, existe uma distribuição de probabilidade associada definida por uma função chamada função de distribuição cumulativa.
O que é uma variável aleatória?
Uma variável aleatória é uma função que atribui valores numéricos aos resultados de um experimento estatístico. Em outras palavras, é uma função definida a partir do espaço amostral de um experimento estatístico no conjunto de números reais.
Por exemplo, considere uma experiência aleatória de jogar uma moeda duas vezes. Os resultados possíveis são HH, HT, TH e TT (H - cabeças, T - contos). Seja a variável X o número de cabeças observadas no experimento. Então, X pode assumir os valores 0, 1 ou 2, e é uma variável aleatória. Aqui, a variável aleatória X mapeará o conjunto S = {HH, HT, TH, TT} (o espaço da amostra) para o conjunto {0, 1, 2} de forma que HH seja mapeado para 2, HT e TH são mapeados para 1 e TT é mapeado para 0. Na notação de função, isso pode ser escrito como, X: S → R onde X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 e X (TT) = 0.
Existem dois tipos de variáveis aleatórias: discretas e contínuas, de acordo com o número de valores possíveis que uma variável aleatória pode assumir é no máximo contável ou não. No exemplo anterior, a variável aleatória X é uma variável aleatória discreta, pois {0, 1, 2} é um conjunto finito. Agora, considere o experimento estatístico de encontrar os pesos dos alunos em uma classe. Seja Y a variável aleatória definida como o peso de um aluno. Y pode assumir qualquer valor real dentro de um intervalo específico. Portanto, Y é uma variável aleatória contínua.
O que é uma distribuição de probabilidade?
A distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade de uma variável aleatória assumir certos valores.
Uma função chamada função de distribuição cumulativa (F) pode ser definida a partir do conjunto de números reais para o conjunto de números reais como F (x) = P (X ≤ x) (a probabilidade de X ser menor ou igual a x) para cada resultado possível x. Agora, a função de distribuição cumulativa de X no primeiro exemplo pode ser escrita como F (a) = 0, se a <0; F (a) = 0,25, se 0≤a <1; F (a) = 0,75, se 1≤a <2 e F (a) = 1, se a≥2.
No caso de variáveis aleatórias discretas, uma função pode ser definida a partir do conjunto de resultados possíveis para o conjunto de números reais de tal forma que ƒ (x) = P (X = x) (a probabilidade de X ser igual ax) para cada resultado possível x. Esta função particular ƒ é chamada de função de massa de probabilidade da variável aleatória X. Agora, a função de massa de probabilidade de X no primeiro exemplo particular pode ser escrita como ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, e ƒ (x) = 0 caso contrário. Assim, a função de massa de probabilidade junto com a função de distribuição cumulativa irá descrever a distribuição de probabilidade de X no primeiro exemplo.
No caso de variáveis aleatórias contínuas, uma função chamada função densidade de probabilidade (ƒ) pode ser definida como ƒ (x) = dF (x) / dx para cada x onde F é a função de distribuição cumulativa da variável aleatória contínua. É fácil ver que essa função satisfaz ∫ƒ (x) dx = 1. A função de densidade de probabilidade junto com a função de distribuição cumulativa descreve a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua. Por exemplo, a distribuição normal (que é uma distribuição de probabilidade contínua) é descrita usando a função de densidade de probabilidade ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Qual é a diferença entre variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade?
• Variável aleatória é uma função que associa valores de um espaço amostral a um número real.
• Distribuição de probabilidade é uma função que associa valores que uma variável aleatória pode levar à respectiva probabilidade de ocorrência.
